Question

1．设关于x的方程2x²-ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数f（x）=$\frac{4x-a}{{x}^{2}+1}$
（1）求f（α）•f（β）的值；
（2）讨论函数f（x）在区间[α，β]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据条件，由韦达定理可以求出$α+β=\frac{a}{2}，αβ=-1$，而可以得到$f（α）•f（β）=\frac{16αβ-4a（α+β）+{a}^{2}}{（αβ）^{2}+（α+β）^{2}-2αβ+1}$，这样带入α+β和αβ便可得出f（α）f（β）的值；
（2）求导数得到$f′（x）=\frac{-2（2{x}^{2}-ax-2）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，这样便可得到方程-2（2x²-ax-2）=0的两根为α，β，且α＜β，这样即可判断f′（x）在区间[α，β]上的符号，从而得出f（x）在区间[α，β]上的单调性．

解答 解：（1）根据韦达定理，$α+β=\frac{a}{2}，αβ=-1$；
∴$f（α）f（β）=\frac{4α-a}{{α}^{2}+1}•\frac{4β-a}{{β}^{2}+1}$
=$\frac{16αβ-4a（α+β）+{a}^{2}}{（αβ）^{2}+（α+β）^{2}-2αβ+1}$
=$\frac{-16-2{a}^{2}+{a}^{2}}{1+\frac{{a}^{2}}{4}+2+1}$
=-4；
（2）$f′（x）=\frac{4（{x}^{2}+1）-2x（4x-a）}{（{x}^{2}+1）^{2}}=\frac{-2（2{x}^{2}-ax-2）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∵关于x的方程2x²-ax-2=0的两根为α，β；
∴方程-2（2x²-ax-2）=0的两根为α，β，且α＜β；
∴α≤x≤β时，f′（x）≥0；
∴f（x）在区间[α，β]上单调递增．

点评 考查韦达定理，根据导数符号判断函数单调性的方法，商的导数的计算公式，以及二次函数的符号和对应一元二次方程实数根的关系．