Question

13．设f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＜x+3的解集．
（2）若x∈（-2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，由原不等式可得|x-2|＜-x+3，从而得到x-3＜x-2＜-x+3，解该不等式便可得出原不等式的解集；
（2）由条件可知x∈（-2，+∞）时，|x-a|＞-2x恒成立，从而可以得到a＜3x或a＞-x对任意的x∈（-2，+∞）恒成立，这样即可得到a≤-6，或a≥2，即得出了a的取值范围．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=|x-2|+2x；
由f（x）＜x+3得，|x-2|+2x＜x+3；
∴|x-2|＜-x+3；
∴x-3＜x-2＜-x+3；
解得$x＜\frac{5}{2}$；
∴原不等式的解集为$（-∞，\frac{5}{2}）$；
（2）根据题意，x∈（-2，+∞）时，|x-a|＞-2x恒成立；
即x-a＞-2x，或x-a＜2x恒成立；
∴a＜3x，或a＞-x对任意x∈（-2，+∞）恒成立；
∴a≤-6，或a≥2；
∴a的取值范围为（-∞，-6]∪[2，+∞）．

点评 考查绝对值不等式|x|≥a和|x|≤a的解法，不等式|f（x）|≥g（x）和|f（x）|≤g（x）的解法，以及根据不等式恒成立求函数中参数范围的方法．