Question

已知向量

a

=（2sinx，

3

cosx），

b

=（-sinx，2sinx），函数f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，若S_△ABC=

3

2

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由f（C）=1，确定出C的度数，利用余弦定理列出关系式，将cosC以及c的值代入得到a²+b²=7，利用三角形面积公式列出关系式，将sinC以及已知面积代入求出ab的值，联立求出a与b的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-2sin²x+2

3

sinxcosx=-1+cos2x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x+cos2x-1=2sin（2x+

π

6

）-1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
则f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）-1=1，即sin（2C+

π

6

）=1，
∵C是三角形内角，∴2C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

6

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，即a²+b²=7，
∵S=

1

2

absinC=

3

2

，
∴ab=2

3

代入可得：a²+

12

a2

=7，
解得：a²=3或a²=4，
∴a=

3

或a=2，
∴b²=4或b²=3，
∵a＞b，
∴a=2，b=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．