Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）设f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（d）的最小值．
（2）当a=2，c=-1时，
①设A=[-1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，求实数b的取值范围；
②设g（x）=|x-t|-x²-bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得方程ax²+bx+c=x存在两等根x₁=x₂=1，可得 b=1-2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得 h（a）=M+m=f（-2）+f（1-）=9a--1，再利用单调性求出 h（a）的最小值．
（2）①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得 ，由此解得 b的范围．
②根据f（x）+g（x）=x²+|x-t|-1，分t＜-时、当-≤t≤ 时、t＞ 时三种情况分别求得f（x）+g（x）的最小值．
解答：解：（1）由题意可得方程ax²+bx+c=x 存在两等根x₁=x₂=1，可得 b=1-2a，c=a．
∴f（x）=a +1-，它的对称轴为 x=1-∈[，1]．
∵x∈[-2，2]，∴h（a）=M+m=f（-2）+f（1-）=9a--1，
∵a≥1，故函数 h（a）为增函数，
∴函数 h（a）的最小值为 h（1）=．
（2）当a=2，c=-1时，f（x）=2x²+bx-1，①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得 ，解得 b∈[-1，1]．
②f（x）+g（x）=x²+|x-t|-1=．
当 t＜-时，最小值为-t-，
当-≤t≤ 时，最小值为 t²-1，
当t＞ 时，最小值为t-．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．