Question

设函数f(x)=x³+bx²+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4，
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)在（-∞，+∞）内无极值点，求a的取值范围．

Answer 1

解：由f(x)=x³+bx²+cx+d得f′(x)=ax²+2bx+c，
因为f′(x)-9x=ax²+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，
所以，，（*）
(Ⅰ)当a=3时，由(*)式得，
解得b=-3，c=12，
又因为曲线y=f(x)过原点，所以d=0，
故f(x)=x³-3x²+12x．
(Ⅱ)由于a＞0，所以“f(x)=x³+bx²+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“f'(x)=ax²+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立”，
由（*）式得2b=9-5a，c=4a，
又Δ=(2b)²-4ac=9(a-1)(a-9)，
解得，
即a的取值范围是[1，9]．