Question

19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-3）=0，当x＞0时，有f（x）-xf′（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-∞，-3）∪（0，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（0，3）
• D． （-3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函数的导数，以及函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式f（x）＞0转化为g（x）＞0或g（x）＜0进行求解即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵当x＞0时，有f（x）-xf′（x）＞0成立，
∴当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，即此时g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数且f（-3）=0，
∴f（3）=0，且g（x）是偶函数，g（3）=g（-3）=0
当x＞0时，f（x）＞0等价为g（x）＞0，即g（x）＞g（3），得0＜x＜3，
当x＜0时，f（x）＞0等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（-3），
此时函数g（x）增函数，得x＜-3，
综上不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-3）∪（0，3），
故选：A．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强．