Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4,a₃+1是a₂和a₄的等差中项.

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1,2,3,…），求数列{b_n}的前n项和S_n.

Answer 1

【解析】（1）设等比数列{a_n}的公比为q.由a₁a₃=4可得

因为a_n＞0，所以a₂=2，  依题意有a₂+a₄=2(a₃+1)，得2a₃=a₄=a₃q

因为a₃＞0，所以q=2，   所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1.           ... 5分

（2）b_n=a_n+1+log₂a_n=2ⁿ+n-1，

可得S_n=(2+2²+2³+…+2ⁿ)+［1+2+3+…+(n-1)］=

                     ... 10分