Question

【题目】2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）

（1）求胶囊中药物的体积关于的函数关系式；

（2）如何设计与的长度，使得最大？

Answer 1

【答案】(1) ，. (2) 为毫米，为毫米

【解析】

（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积关于的函数关系式；

（2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案.

解：（1）由得，，所以，

所以药物体积，.

（2）求导得，令，得或（舍），

当，，在区间上单调增，

当，，在区间上单调减，

所以当时，有最大值，此时，，

答：当为毫米，为毫米时，药物的体积有最大值.