【题目】已知椭圆C:的离心率为,且过点
求椭圆C的方程;
若过点的直线与椭圆C相交于A,B两点,设P点在直线上,且满足为坐标原点,求实数t的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
本试题主要是考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
(1)利用已知的性质离心率得到a,c比例关系,同时要结合过点,得到椭圆的方程。
(2)中利用由已知直线AB的斜率存在,设AB的方程为:
与椭圆方程联立,结合韦达定理以及向量关系式得到k的关系式,借助于均值不等式求解最值。
解:(1)设椭圆的焦距为,因为离心率为,,
所以--------------2分
设椭圆方程为又点在椭圆上,--------------3分
所以椭圆方程为--------------4分
(2)由已知直线AB的斜率存在,设AB的方程为:
由得
,得:,即-------6分
设,
,,显然时;当时,
,-------8分
因为点在直线上所以
即-------9分
因为
(当且仅当时取等号)(因为)
-------11分
综上:-------12分
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【题目】根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图,以下结论不正确的是
A. 自2005年以来,我国人口总量呈不断增加趋势
B. 自2005年以来,我国人口增长率维持在上下波动
C. 从2005年后逐年比较,我国人口增长率在2016年增长幅度最大
D. 可以肯定,在2015年以后,我国人口增长率将逐年变大
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【题目】2019年11月2日,中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病(老年痴呆症)新药GV-971的上市申请,这款新药由我国科研人员研发,我国拥有完全知识产权.据悉,该款药品为胶囊,从外观上看是两个半球和一个圆柱组成,其中上半球是胶囊的盖子,粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示,两头是半圆形,中间区域是矩形,其周长为50毫米,药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.(注:,,其中为球半径,为圆柱底面积,为圆柱的高)
(1)求胶囊中药物的体积关于的函数关系式;
(2)如何设计与的长度,使得最大?
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为,根据(1)中的结果回答下列问题:
①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附:回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据:.
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