Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A，B两点，且

AF2

=3

F2B

，若△ABF₁是以B为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率等于（　　）

• A．3
• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：将向量关系转化为长度关系，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．

解答：解：因为

AF2

=3

F2B

，所以AF₂=3F₂B，设BF₂=m，则AF₂=3m，所以BF₂=AB=4m．
又BF₁-BF₂=3m=2a，即m=

2a

3

，
所以BF1=4m=

8a

3

，
又AF₁-AF₂=AF₁-3m=2a，所以AF₁=2a+3m=4a．
由余弦定理得cos∠ABF1=

AB2+F1B2-F1A2

2AB?F1B

=

( 8a 3 )2+( 8a 3 )2-(4a)2

2×( 8a 3 )2

=-

1

8

．
又|F1F2|2=F1B2+F2B2-2F1B?F2Bcos?∠ABF1，
即4c2=(

8a

3

)2+(

2a

3

)2-2×

8a

3

×

2a

3

(-

1

8

)=8a²，
所以c²=2a²，即c=

2

a，即离心率e=

c

a

=

2

．
故选D．

点评：本题主要考查双曲线的定义以及余弦定理的应用，将向量关系转化为长度关系，利用余弦定理求出边长和a，c之间的关系是解决本题的关键．本题运算量较大，综合性较强，考查学生的运算能力．