Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①f（2）=0；②对于任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；③当x＞1时，总有f（x）＜1．
（1）求f（1）及f（

1

2

）的值；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）求不等式f（x-1）+f（x-2）＜1的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令a=b=1，则f（1）=1，只需要利用特值得方法即可获得解答；
（2）要利用好条件③再结合单调性的定义证明即可获得解答
（3）原不等式转化为（x-1）（x-2）＞2，有定义在（0，+∞），继而求得答案．

解答： 解：（1）∵f（a）+f（b）-1=f（a•b），
令a=b=1，则f（1）=1
∵f（2）=0，
∴f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-1=1
∴f（

1

2

）=2，
（2）设0＜x₁＜x₂，f（x1）-f（x2）=f（x₁）-f(

x2

x1

•x₁）=f（x₁）-f（

x2

x1

）-f（x₁）+1=1-f（

x2

x1

），
∵

x2

x1

＞1，
∴f（

x2

x1

）＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（x-1）+f（x-2）-1=f[（x-1）（x-2）]，
∵f（x-1）+f（x-2）＜1
∴f（x-1）+f（x-2）-1＜0
∴f[（x-1）（x-2）]＜0=f（2）
∴（x-1）（x-2）＞2
解得x＜0或x＞3
又x-1＞0，x-2＞0
∴x＞2，
∴x＞3

点评：本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了抽象函数特值的思想、函数单调性以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．