Question

已知函数f（x）=|x-3|+|x-2|+k．
（Ⅰ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x；
（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）绝对值不等式的解法，通过对x分x＜2、x=2、x＞2三类讨论，即可求得当k=1时，不等式：f（x）＜3x的解集；
（Ⅱ）依题意，通过对x分x＜2、x=2、x＞2三类讨论，去掉绝对值符号，即可求得k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）＜3x?|x-3|+|x-2|+1＜3x，
当x＜2时，3-x+2-x+1＜3x，解得：

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＜x＜2；
当2≤x≤3时，3-x+x-2+1＜3x，解得：x＞

2

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，故2≤x≤3；
当x＞3时，2x-5+1＜3x，解得x＞-4，故x＞3；
综上所述，当k=1时，原不等式的解集为{x|x＞

6

5

}；
（Ⅱ）f（x）≥3?|x-3|+|x-2|+k≥3?|x-3|+|x-2|≥3-k，
当x＜2时，3-x+2-x≥3-k，即k≥2x-2，解得k≥2；
当2≤x≤3时，3-x+x-2+k≥3，解得：k≥2；
当x＞3时，2x-5+k≥3，解得k≥2；
综上所述，k≥2．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x分x＜2、x=2、x＞2三类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．