Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁=1
（1）证明数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出2a_n=a_n+1-2ⁿ，由此能证明{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列．
（2）an=

1

2

n•2n=n•2^n-1．由此利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（a_n+1-2ⁿ⁺¹+1）-（a_n-2ⁿ+1），
整理，得2a_n=a_n+1-2ⁿ，
∴

2an

2n+1

=

an+1

2n+1

-

2n

2n+1

，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，
∵

a1

21

=

1

2

，
∴{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列．
（2）解：∵{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

1

2

n，
∴an=

1

2

n•2n=n•2^n-1．
∴S_n=2⁰+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，①
2S_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n
=2ⁿ-1-n•2ⁿ．
∴Sn=(n-1)•2n+1．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．