Question

已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0．
（1）请找出一个满足条件的函数f（x）；
（2）猜想函数f（x）的奇偶性和单调性，并证明你的结论；
（3）若f（1）=-3，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇偶性和单调性在基本初等函数中寻找实例即可
（2）特值法，令x=x，y=-x即可获得f（-x）与f（x）的关系，从而问题即可获得求解；
（3）利用函数f（x）为奇函数，且为减函数，令x=y=1，继而求得最值．

解答： 解：（1）f（x）=-2x；
（2）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
f（x）的定义域为R，关于数0对称，
令x=x，y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）
则f（-x）=-f（x）．
故f（x）为奇函数．
当x＞0时，f（x）＜0．
∴f（-x）=-f（x）＞0，
∴f（-x）＞f（x）
∵-x＜x，
故f（x）为单调递减函数．
（3）由f（x）为单调递减函数．
∴f（-2）为最大值，f（2）为最小值．
令x=y=1，则f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=-6
又f（x）为奇函数．
∴f（-2）=-f（2）=6．
故f（x）在[-2，2]上的最大值为6，最小值为-6．

点评：本题考查的是函数的单调性及奇偶性等性质问题．在解答的过程当中充分体现了特值的思想、做差的方法、做商的方法以及对基本初等函数的理解及应用．