Question

f（x）=|x+7|+|x-1|
（1）解不等式f（x）≥10
（2）g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得原不等式的解集；
（2）g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R，即f（x）+m=0无解?|x+7|+|x-1|+m＞0在R上恒成立，易求[-f（x）]_max=-8，从而可得m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=|x+7|+|x-1|≥10等价于以下三个不等式

2x+6≥10 x＞1

，或

-2x-6≥10 x＜-7

，或

8≥10 -7≤x≤1

…3分
所以x≥2或x≤-8，
原不等式的解集为（-∞，8]∪[2，+∞）…5分
（1）g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R，即f（x）+m=0无解，
即|x+7|+|x-1|+m＞0在R上恒成立，…8分
f（x）=|x+7|+|x-1|≥|（x+7）-（x-1）|=8，
所以-f（x）≤-8，即[-f（x）]_max=-8，
所以m＞[-f（x）]_max=-8，…10分
所以m的取值范围为（-8，+∞）…12分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．