Question

若不等式2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先把已知等式转化为a≤x+2lnx+

3

x

，设g（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可．

解答： 解：2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞），
等价于a≤x+2lnx+

3

x

，
令g（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），
g′（x）=1+

2

x

-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调减，
当x=1时，g′（x）=0，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调增，
∴g（x）_min=g（1）=4，
∴a≤4．

点评：本题主要考查了利用导函数求最值的问题．考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．