Question

已知向量

m

=（sinx，cosx），

n

=（

3

sinx，sinx），函数f（x）=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：综合题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由数量积的定义和三角函数的运算可得f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，可得单调递增区间；
（2）由x的范围，可得2x-

π

3

的范围，进而可得sin（2x-

π

3

）的范围，可得函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（sinx，cosx），

n

=（

3

sinx，sinx），
∴函数f（x）=

m

•

n

=sinx•

3

sinx+cosx•sinx=

.

2

（1-cos2x）+

1

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，…（3分）
∴T=π                                        …（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z  …（8分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴当2x-

π

3

=

π

3

，即x=0时，f（x）_min=0
当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，f（x）_max=1+

3

2

      …（12分）

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的运算和正弦函数的单调性．