Question

已知数列{c_n}满足（i）

cncn+2

≤c_n+1，（ii）存在常数M（M与n无关），使得c_n＜M恒成立，则称数列{c_n}是和谐数列．
（1）已知各项均为正数的等比数列{a_n}，S_n为其前n项和；且a₃=4，S₃=28，求证：数列{S_n}是和谐数列；
（2）已知各项均为正数、公比为q的等比数列{b_n}，T_n为其前n项和，求证：{T_n}是和谐数列的充要条件为：0＜q＜1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等比数列的通项公式和前n项和公式由已知条件求出首项和公比，由此求出Sn=32-

1

2n-5

，得到存在常数M=32，使得S_n＜32恒成立，从而能证明数列{S_n}是和谐数列．
（2）先证明充分性：已知等比数列{b_n}，且0＜q＜1，则Tn=

b1(1-qn)

1-q

=

b1

1-q

-

b1qn

1-q

＜

b1

1-q

．再证明必要性：已知等比数列{b_n}，各项均为正数，T_n是其前n项和，{T_n}是和谐数列．由此能证明：{T_n}是和谐数列的充要条件为：0＜q＜1．

解答： （本小题满分13分）
（1）证明：设等比数列{a_n}的公比是q₀，则q₀＞0，
且

a3=a1q02=4 S3= a1(1-q03) 1-q0 =28

，解得

a1=16 q0= 1 2

，
∴Sn=32-

1

2n-5

…（3分）

∴ Sn•Sn+2 = (32- 1 2n-5 )(32- 1 2n-3 ) = 322-32( 1 2n-5 + 1 2n-3 )+ 1 22n-8 ＜ 322-2×32× 1 2n-4 + 1 22n-8 = (32- 1 2n-4 )2 =32- 1 2n-4 =Sn+1

又Sn=32-

1

2n-5

＜32，
∴存在常数M=32，使得S_n＜32恒成立．
∴数列{S_n}是和谐数列．…（7分）
（2）证明：充分性：已知等比数列{b_n}，且0＜q＜1，
则Tn=

b1(1-qn)

1-q

=

b1

1-q

-

b1qn

1-q

＜

b1

1-q

令M=

b1

1-q

，则T_n＜M，
∵T_n•T_n+2=

b12(1-qn)(1-qn+2)

(1-q)2

=（

b1

1-q

）²（1-qⁿ-qⁿ⁺²+q²ⁿ⁺²）
＜（

b1

1-q

）²（1-2qⁿ⁺¹+q²ⁿ⁺²）
=Tn+12，
∴{T_n}是和谐数列．…（9分）
必要性：已知等比数列{b_n}，各项均为正数，T_n是其前n项和，
{T_n}是和谐数列，∵b_n＞0，∴q＞0．
下面反证法证明：q＜1…（10分）
若q=1，则T_n=nb₁，∴不存在M使nb₁＜M对于n∈N^*恒成立；…（11分）
若q＞1，则Tn=

b1(1-qn)

1-q

=

b1

1-q

-

b1

1-q

qn，
对于给定的正数M，
令

b1

1-q

-

b1

1-q

qn＞M，∵q＞1∴n＞logq(

q-1

b1

M+1)，
即当n＞logq(

q-1

b1

M+1)时，总有T_n＞M
即即存在常数M，使得T_n＜M对于n∈N^*恒成立．
综上所述：{T_n}是和谐数列的充要条件为：0＜q＜1．…（13分）

点评：本题考查数列的和谐数列的证明，考查{T_n}是和谐数列的充要条件为：0＜q＜1的证明，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．