Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=x-1，若同时满足条件：①对任意实数x，有f（x）＜0或g（x）＜0②当x＜-4时，f（x）•g（x）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：当x≥1时，f（x）=x-1＜0不成立，所以当x≥1时g（x）＜0；由二次函数的性质求得m的范围，当x∈（-∞，-4）时，f（x）＜0．需要存在x∈（-∞，-4），使g（x）＞0，求的m范围，最后求其交集即可．

解答： 解：当x≥1时，g（x）=x-1＜0不成立，所以当x≥1时f（x）＜0；
所以f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0，在x≥1时恒成立，
由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴的交点都在（1，0）的左侧，则

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

∴-4＜m＜0
即①成立的范围-4＜m＜0
又x＜-4时，f（x）g（x）＜0，
∴g（x）=x-1＞0，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＜-4时成立，由于①可得m＜0，
∴（x-2m）（x+m+3）＞0在x＜-4时成立，
∴2m＞-4，
即m＜-2，
综上所述，m范围为（-4，-2）

点评：本题考查不等式恒成立，函数最值的应用，考查逻辑思维能力，推理运算能力．