Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，1]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可；
（2）先求出f′（x）=0，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调性，进而来确定出最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²-4，
∴f'（x）=-3x²+2ax，
∵函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，
∴-3+2a=1，
∴a=2；
（Ⅱ））由（1）得：f（x）=-x³+2x²-4，
∴f'（x）=-3x²+4x=-3x（x-

4

3

），
令f'（x）＜0，并且函数的定义域为：[-1，1]，
则有f（x）在[-1，0]递减；f（x）在[0，1]递增
∴f（x）在[-1，1]的最小值为f（0）=-4．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值，导数高考新增内容，是常考的知识点，属于基础题．