Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b，若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，由导函数解析式可知，当a=-

1

2

时函数在区间（-1，1）上严格单增，当a≠-

1

2

时导函数有两个零点，分别由两个零点位于区间（-1，1）上求a的取值范围．

解答： 解：由f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b，得
f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]
因为函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）在区间（-1，1）上不单调，
所以f（x）至少有一个极值点在区间（-1，1）内，
a≠-

1

2

时，f（x）有两个不相同的极值点x₁=a和x₂=-

a+2

3

．
①a=-

1

2

时，f（x）严格单调增加．
②若-1＜x₁＜1，得-1＜a＜1．
③若-1＜x₂＜1，即-1＜-

a+2

3

＜1，可得-5＜a＜1．
综合①、②、③，
可得a的取值范围是（-5，-

1

2

）∪（-

1

2

.1）．

点评：本题考查了函数的单调性和导数间的关系，考查了导函数的零点与原函数的极值点的关系，需要注意的是极值点处的导数等于0，但导数为0的点不一定是极值点，此题是中档题．