Question

7．已知函数f（x）=-x²+2|x-a|（a∈R）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求y=f（x）的单调递增区间；
（2）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到递增区间；
（2）由题意可得，x∈[0，+∞）时，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立，再分①当0≤x≤a时、②当x≥a+1、③当a＜x＜a+1时三种情况，分别求得a的范围，再取交集，即为所求．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=-x²+2|x-$\frac{1}{2}$|，
当x$≥\frac{1}{2}$时，f（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²，在（$\frac{1}{2}$，1）函数递增；
当x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）=-x²+1-2x=-（x+1）²+2，在（-∞，-1）函数递增．
即有函数f（x）的单调递增区间为（$\frac{1}{2}$，1），（-∞，-1）；
（2）由题意可得，x∈[0，+∞）时，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立 ①．
（Ⅰ）当0≤x≤a时，①即 x²+4x-2a+1≥0恒成立，
由于当x=0时，不等式左边取得最小为-2a+1，
再由-2a+1≥0求得 a≤$\frac{1}{2}$，∴0＜a≤$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）当x≥a+1，①即x²+2a-3≥0 恒成立，
由于当x=a+1时，不等式的左边取得最小值为a²+4a-2，
再由a²+4a-2≥0求得a≥$\sqrt{6}$-2．
（Ⅲ）当a＜x＜a+1时，①即 x²-4x+6a+1≥0恒成立，
该不等式对应的二次函数的图象开口向上，对称轴为x=2，
若a＞2，则当x=a时，不等式的左边取得最小值为a²+2a+1，
由a²+2a+1≥0，求得a∈R，故此时有 a＞2．
若a≤2≤a+1，则当x=2时，不等式的左边取得最小值为6a-3，
由6a-3≥0，求得a≥$\frac{1}{2}$，故此时有1≤a≤2．
若a+1＜2，则当x=a+1时，不等式左边取得最小值为a²+4a-2≥0，求得a≥$\sqrt{6}$-2，
故此时有$\sqrt{6}$-2＜a＜1．
故在此分类条件下，a≥-2+$\sqrt{6}$．
综上可得$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$，
即a的范围为[$\sqrt{6}$-2，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查分段函数的单调区间的求法和二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．