Question

若抛物线y²=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（　　）

A．（- 4 3 ，0）

B．（0， 3 4 ）

C．（0， 4 3 ）

D．（-∞，0）∪（ 4 3 ，+∞）

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点A和B在抛物线上，所以有y12=ax1①
y22=ax2②
①-②得，y12-y22=a(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

a

y1+y2

，
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以k_AB=1，即

a

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=a．
设AB的中点为M（x₀，y₀），则y0=

y1+y2

2

=

a

2

．
又M在直线x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-

a

2

．
则M（1-

a

2

，

a

2

）．
因为M在抛物线内部，所以y02-ax0＜0．
即

a2

4

-a(1-

a

2

)＜0，解得0＜a＜

4

3

．
所以a的取值范围是（0，

4

3

）．
故选C．