【题目】已知函数 .
(1)求f(x)的极值;
(2)当0<x<e时,求证:f(e+x)>f(e﹣x);
(3)设函数f(x)图象与直线y=m的两交点分别为A(x1 , f(x1)、B(x2 , f(x2)),中点横坐标为x0 , 证明:f'(x0)<0.
【答案】
(1)解:f′(x)= ,f(x)的定义域是(0,+∞),
x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当x=e时,f(x)取极大值为 ,无极小值
(2)解:要证f(e+x)>f(e﹣x),即证: ,
只需证明:(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x).
设F(x)=(e﹣x)ln(e+x)﹣(e+x)ln(e﹣x),
,
∴F(x)>F(0)=0,
故(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x),
即f(e+x)>f(e﹣x)
(3)解:证明:不妨设x1<x2,由(1)知0<x1<e<x2,∴0<e﹣x1<e,
由(2)得f[e+(e﹣x1)]>f[e﹣(e﹣x1)]=f(x1)=f(x2),
又2e﹣x1>e,x2>e,且f(x)在(e,+∞)上单调递减,
∴2e﹣x1<x2,即x1+x2>2e,
∴ ,∴f'(x0)<0
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的极值即可;(2)问题转化为证明(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x),设F(x)=(e﹣x)ln(e+x)﹣(e+x)ln(e﹣x),根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题.
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【题目】假定某射手射击一次命中目标的概率为.现有4发子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击,否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求:
(1)X的概率分布;
(2)数学期望E(X).
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【题目】某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题计结果如下图表所示:
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
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【题目】直角坐标系xoy中,椭圆的离心率为,过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(2,1),直线与椭圆C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
①求直线的斜率;②若,求直线的方程.
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【题目】如图1所示,在等腰梯形,,,垂足为,,.将沿折起到的位置,使平面平面,如图2所示,点为棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求三棱锥的体积.
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【题目】袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取…取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
(1)求袋中原有白球的个数;
(2)求取球两次终止的概率
(3)求甲取到白球的概率.
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【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
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