Question

已知a+b+c＞0,abc＞0,ab+bc+ca＞0.

求证:a＞0,b＞0,c＞0.

Answer 1

解析:本题正面证不太易证,可从反面证明.

证明:由abc＞0,可知a、b、c都大于零或两个负数、一个正数.

若两个负数、一个正数,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.

则由a+b+c＞0,知a＞-(b+c).

又∵b＜0,c＜0,∴b+c＜0.

∴-(b+c)＞0.∴a＞-(b+c)＞0.

∴a(b+c)＜-(b+c)².

∴bc+a(b+c)＜bc-(b+c)²,

即ab+bc+ac＜-b²-bc-c²＜0.

这与已知ab+bc+ac＞0相矛盾.

∴不可能有两个负数、一个正数,只能都是正数,

即a＞0,b＞0,c＞0成立.