Question

8．如图所示，点P在已知三角形ABC的内部，定义有序实数对（μ，v，ω） 为点P关于△ABC的面积坐标，其中μ=$\frac{△PBC的面积}{△ABC的面积}$，v=$\frac{△APC的面积}{△ABC的面积}$，ω=$\frac{△ABP的面积}{△ABC的面积}$；若点Q满足$\overrightarrow{BQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，则点Q关于△ABC的面积坐标（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 可作出图形，然后作QD∥BC，QE∥AB，分别交AB，BC于D，E，从而根据向量加法的平行四边形法则知$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，从而得到$DQ=\frac{1}{3}BC，QE=\frac{1}{2}BA$，这样根据三角形的面积公式即可得出${S}_{△ABQ}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$，${S}_{△QBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，这样即可求出μ，v，ω，从而得出点Q关于△ABC的面积的坐标．

解答 解：如图，过Q作QD∥BC，交AB于D，作QE∥AB，交BC于E，则：
$DQ=\frac{1}{3}BC，QE=\frac{1}{2}AB$；
∴$μ=\frac{{S}_{△QBC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{2}，ω=\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$；
∴$v=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；
∴点Q关于△ABC的面积坐标为（$\frac{1}{2}，\frac{1}{6}，\frac{1}{3}$）．
故答案为：$（\frac{1}{2}，\frac{1}{6}，\frac{1}{3}）$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，以及三角形的面积公式．