Question

【题目】已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明

(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故得证；（2）由单调性的定义，任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，由性质可得可得f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(，由已知可判f()<0，进而得证．

证明：(1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)为奇函数

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减

令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f()

∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,

又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,

∴0<<1,由题意知f()<0， 即　f(x2)<f(x1)

∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0

∴f(x)在(－1，1)上为减函数