Question

已知椭圆C：

x2

16

+

y2

4

=1，过点（2，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求切线l的方程；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）设出切线l的点斜式方程：y=k（x-2），由题意原点到直线l的距离等于1，利用点到直线距离公式建立关于k的方程解出k=±

3

3

，可得切线l的方程；
（2）直线l方程与椭圆方程消去y，得到7x²-16x-32=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系算出|x₁-x₂|=

24 2

7

，再由弦长公式即可算出弦AB的长．

解答：解：（1）设切线l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0
∵直线l与圆x²+y²=1相切
∴原点到直线l的距离d=

|-2k|

k2+1

=1，解之得k=±

3

3

∴切线l的方程为y=±

3

3

(x-2)
（2）由y=±

3

3

(x-2)与C：

x2

16

+

y2

4

=1消去y，
得7x²-16x-32=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

16

7

，x₁x₂=-

32

7

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4 x1x2

=

24 2

7

因此，弦AB的长|AB|=

1+ 1 3

•|x₁-x₂|=

2 3

3

×

24 2

7

=

16 6

7

．

点评：本题给出直线与圆相切，求切线方程并求切线被椭圆截得线段的长．着重考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和弦长公式等知识，属于中档题．