(1)求f(0)的值,并证明函数f(x)为偶函数;
(2)定义数列{an}:an=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3,…),求证:{an}为等比数列;
(3)若对于任意的非零实数y,总有f(y)>2.设有理数x1,x2满足:|x1|<|x2|,判断f(x1)和f(x2)的大小关系,并证明你的结论.
(1)解:令x=1,y=0,∴f(1)f(0)=f(1)+f(1).∵f(1)=,∴f(0)=2.
令x=0,∴f(0)f(y)=f(y)+f(-y),即2f(y)=f(y)+f(-y).
∴f(y)=f(-y),对任意实数y总成立.
∴f(x)为偶函数.
(2)证明:令x=y=1,得f(1)f(1)=f(2)+f(0).
∴=f(2)+2.∴f(2)=.
∴a1=2f(2)-f(1)==6.
令x=n+1,y=1,得f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n).
∴f(n+2)=f(n+1)-f(n).
∴an+1=2f(n+2)-f(n+1)
=2[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)
=4f(n+1)-2f(n)
=2[2f(n+1)-f(n)]
=2an(n≥1).
∴{an}是以6为首项,以2为公比的等比数列.
(3)解:结论:f(x1)<f(x2).
证明:设y≠0,
∵y≠0时,f(y)>2,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(x),即f(x+y)-f(x)>f(x)-f(x-y).
∴对于k∈N,总有f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]成立.
∴f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]>f[(k-1)y]-f[(k-2)y]
>…>f(y)-f(0)>0.
∴对于k∈N总有f[(k+1)y]>f(ky)成立.
∴对于m,n∈N,若n<m,则有f(ny)<…<f(my)成立.
∵x1,x2∈Q,∴可设|x1|=,
|x2|=,其中q1,q2是非负整数,p1,p2都是正整数,
则|x1|=,|x2|=.
令y=,t=q1p2,s=p1q2,则t,s∈N.
∵|x1|<|x2|,∴t<s.
∴f(ty)<f(sy),即f(|x1|)<f(|x2|).
∵函数f(x)为偶函数,
∴f(|x1|)=f(x1),f(|x2|)=f(x2).
∴f(x1)<f(x2).
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A、0 | B、2013 | C、3 | D、-2013 |
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