Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，PD⊥CD，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）取PD的中点F，连接AF，EF，
∵△PAD为正三角形，∴AF⊥PD，
∵AD⊥CD，PD⊥CD，AD∩PD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴CD⊥AF，
∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD，
∵E为PC的中点，∴EF∥CD，
∵AB∥CD，∴AB∥EF，
∵AF?平面ABE，∴平面ABE⊥平面PCD；
（Ⅱ）取AD，BC的中点O，M，连接PO，OM，
∴OM⊥AD，
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
∵CD⊥平面PAD，PO?平面PAD，
∴CD⊥PO，
∵OM∥CD，∴OM⊥PO，
以O为坐标原点，分别以OA，OM，OP，为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图：
设AD=1，则D（0，0，0），A（$\frac{1}{2}$，0，0），B（$\frac{1}{2}$，1，0），C（-$\frac{1}{2}$，1，0），D（-$\frac{1}{2}$，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），F（-$\frac{1}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
则$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{3}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
∵AF⊥平面PCD，
∴平面CDE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{BD}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-x-y=0}\\{\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
即二面角B-DE-C的余弦值是$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题综合考查空间中面面垂直的判断和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，综合性较强，运算量较大．