Question

已知等差数列a_n是递增数列，且满足a₅=3，S₆=12．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）令bn=

1

anan+1

，数列b_n的前n项和S_n，若存在整数t，使S_n≤t对任意自然数n∈N^*恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a₅=3，S₆=12列出关于首项和公关差的方程组，把其值代入通项公式即可．
（2）由a_n的通项公式得出b_n的通项公式，然后进行裂项，每一项都变成差的形式，相加可抵消，最后剩余两项，易于判断S_n小于哪一个整数．

解答：解：（1）根据题意：

a1+4d=3 6a1+15d=12

，解得

a1= 1 3 d= 2 3

，（3分）
故等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）•d=

2n-1

3

（6分）
（2）bn=

1

anan+1

=

1

2n-1 3 •  2n+1 3

=

9

(2n-1)(2n+1)

=

9

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
S_n=

9

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

9

2

[（1-

1

2n+1

）]=

9

2

（1-

1

2n+1

）＜

9

2

（12分）
∵t是整数，∴t的最小值是5．（15分）

点评：本题考查了等差数列的通项公式，数列求和的裂项法，求a_n有两种方法，一种是a_n=a_m+（n-m）d，另一种利用通项公式，求首项和公差；用裂项法求和时，注意项的形式，分子上是一个常数，分母上可分解成两个关于n的一次式相乘．