Question

已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|
（1）求实数a、b间满足的等量关系；
（2）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知Q为切点，可知PQ⊥OQ，结合勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²及已知|PQ|=|PA|，利用两点间的距离公式可得a，b之间的关系
（2）设圆P的半径为R，由圆P与圆O有公共点，且半径最小，可知R=OP，利用两点间的距离，结合（1）中a，b的关系可转化为关于a的二次形式，结合二次函数的性质可求R的最小值，进而可求圆的方程
法二：圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心为P过原点与l垂直的直线l'与l的交点P₀，可求

解答：解：（1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
∵|PQ|=|PA|故PA²=PO²-1
∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²
化简可得，2a+b-3=0
（2）设圆P的半径为R，
∵圆P与圆O有公共点，且半径最小，
∴R=|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故当a=

6

5

时，|OP|min=

3

5

5

．
此时，b=-2a+3=

3

5

，Rmin=

3

5

5

-1．
得半径取最小值时圆P的方程为(x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3

5

5

-1)2．
另解：圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心为P过原点与l垂直的直线l'与l的交点P₀．
r=

3

22+12

-1=

3 5

5

-1．
又l'：x-2y=0，
解方程组

x-2y=0 2x+y-3=0

，得

x= 6 5 y= 3 5

．即P₀（ 

6

5

，

3

5

）．
∴所求圆方程为(x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3

5

5

-1)2．

点评：本题主要考查了圆的性质的简单应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力，试题具有一定的综合性