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已知f(x)=|x|(x-4).

(1)把f(x)写成分段函数的形式;

(2)画出函数f(x)的图象;

(3)利用图象回答:当k为何值时,方程|x|(x-4)=k有一解?有两解?有三解?

解:(1)f(x)=

(2)图象如图.

(3)方程的解的个数即为函数y=|x|(x-4)与yk图象的交点个数.

结合图象可知当k>0或k<-4时,方程有一解.

k=0或k=-4时,方程有两解.

当-4<k<0时,方程有三解.

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已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).

(1)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)若函数f(x)的导函数满足:当|x|≤1时,有恒成立,求函数f(x)的解析表达式;

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已知f(x)=x+1,若f(x+1)的图象关于直线x=2对称图象对应的函数为g(x),则g(x)为( )


  1. A.
    6-x
  2. B.
    x-6
  3. C.
    x-2
  4. D.
    -x-2

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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依题意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)设切点为(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切线过点A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.

∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2

画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范围是(-6,2).

 

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