Question

过点（1，0）的直线与抛物线y²=4x交于P、Q两点，若将坐标平面沿x轴折成直二面角，则翻折后线段PQ的长度最小值等于（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、

  3

  +1
• D、

  2

  +1

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：设PQ的方程为：y=k（x-1），设P（x1，2

x1

），Q（x2，2

x2

），过P作PM⊥x轴，交x轴于M点，过Q作QN⊥x轴，交x轴于N点，联立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，x1+x2=

4+2k2

k2

，x₁x₂=1，将坐标平面沿x轴折成直二面角，折后|PQ|²=|QN|²+|PM|²+|MN|²=4（x₁+x₂）+（x₁-x₂）²，由此能求出翻折后线段PQ的长度最小值．

解答： 解：如图，过点（1，0）的直线与抛物线y²=4x交于P、Q两点，
∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
∴直线PQ过F（1，0），
设PQ的方程为：y=k（x-1），
设P（x1，2

x1

），Q（x2，2

x2

），
过P作PM⊥x轴，交x轴于M点，|PM|=2

x1

，
过Q作QN⊥x轴，交x轴于N点，|QN|=2

x2

，
联立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
x1+x2=

4+2k2

k2

，x₁x₂=1，
将坐标平面沿x轴折成直二面角，得到如下图所示的图形，
由图形知，折后QN⊥平面PMN，
|PQ|²=QN²+|PN|²
=|QN|²+|PM|²+|MN|²
=4（x₁+x₂）+（x₁-x₂）²
=4（x₁+x₂）+（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=

16+8k2

k2

+

16+16k2+4k4

k4

-4
=8+

8

k2

+

16

k4

＞8．
∴|PQ|＞

8

=2

2

．
∴翻折后线段PQ的长度最小值等于2

2

．
故选：B．

点评：本题考查翻折后线段长度最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．