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已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
)
,最大值与最小值的差为4,相邻两个最低点之间距离为π,且函数y=sin(2x+
π
3
)
图象所有的对称中心都在y=f(x)图象的对称轴上.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
])
,求cos(x0-
π
3
)
的值;
(3)设
a
=(f(x-
π
6
),1)
b
=(1,mcosx)
x∈(0,
π
2
)
,若
a
b
+3≥0
恒成立,求实数m的取值范围.
(1)依题意可知:A=2,T=π,y=sin(2x+
π
3
)
与f(x)相差
T
4
+kT,k∈Z
,即相差
π
4
+kπ,k∈Z

所以f(x)=Asin[2(x+
π
4
+kπ)+
π
3
]=Acos(2x+
π
3
)

f(x)=Asin[2(x-
π
4
+kπ)+
π
3
]=Acos(2x+
3
)
(舍),
f(x)=2cos(2x+
π
3
)

(2)因为f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
])
,即cos(x0+
π
3
)=
3
4

因为x0+
π
3
∈[-
π
6
6
]
,又cos(-
π
6
)=
3
2
3
4
,y=cosx在[-
π
6
,0]
单调递增,
所以x0+
π
3
∈[0,
π
2
]

所以sin(x0+
π
3
)=
1-(
3
4
)
2
=
7
4
,于是
cos(x0-
π
3
)=cos(x0+
π
3
-
3
)=cos(x0+
π
3
)cos
3
+sin(x0+
π
3
)sin
3
=-
3
4
1
2
+
7
4
3
2
=
21
-3
8

(3)因为
a
=(f(x-
π
6
),1)
b
=(1,mcosx)
x∈(0,
π
2
)

a
b
+3=f(x-
π
6
)+mcosx+3=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1

于是4cos2x+mcosx+1≥0,得m≥-4cosx-
1
cosx
对于x∈(0,
π
2
)
恒成立,
因为(-4cosx-
1
cosx
)max=-4

故m≥-4.
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已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列条件:
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②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函数,
则下列不等式中正确的是(  )

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f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  则:
①f(3)的值为
0
0

②f(2011)的值为
-1
-1

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-1,(0<x≤1)
,则f(3)=(  )

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A、-2B、2C、4D、-4

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A、0B、2013C、3D、-2013

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