Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCd是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）求二面角A-BC-P的大小．

Answer 1

分析：（1）根据△ABD为等边三角形且G为AD的中点，则BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知BG⊥平面PAD；
（2）根据△PAD是等边三角形且G为AD的中点，则AD⊥PG，且AD⊥BG，PG∩BG=G，满足线面垂直的判定定理，则AD⊥平面PBG，而PB?平面PBG，根据线面垂直的性质可知AD⊥PB；
（3）证明∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵△ABD为等边三角形且G为AD的中点，
∴BG⊥AD
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD
（2）证明：∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点，
∴AD⊥PG
∵AD⊥BG，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，PB?平面PBG，
∴AD⊥PB；
（3）解：∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB，
∵BG⊥AD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，
∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，
在直角△PBG中，PG=BG，∴∠PBG=45°，
∴二面角A-BC-P的平面角是45°．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及空间中直线与直线之间的位置关系，考查面面角，同时考查了空间想象能力、划归与转化的思想，属于中档题．