Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求证：对任意的λ=（0，1]，都有AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角C-BE-A的大小为120°，求实数λ的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质,向量的数量积判断向量的共线与垂直

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明AC⊥BE恒成立．
（II）求出平面ABE的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出λ=1．

解答： （I）证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，
如图建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），

AC

=(-a，a，0)， 

BE

=(-a，-a，λa)，…（3分）
∴

AC

•

BE

=0对任意λ∈（0，1]都成立，
即AC⊥BE恒成立．…（5分）
（II）解：设平面ABE的一个法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
∵

AB

=(0，a，0)， 

AE

=(-a，0，λa)，
∴

n1 • AB =0 n1 • AE =0

⇒

y1=0  -ax1+λaz1=0

⇒

y1=0  x1-λz1=0

，
取z₁=1，则x₁=λ，

n1

=(x1，y1，z1)=(λ，0，1)．…（7分）
设平面BCE的一个法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
∵n=3n+1，∴n=

n

2

，
取z₂=1，则y₂=λ，

n2

=(x2，y2，z2)，…（9分）
∵二面角C-AE-D的大小为120°，
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

1+λ2

=

1

2

， λ∈(0， 1]⇒λ=1，
∴λ=1为所求．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查使得二面角为120°的实数值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．