Question

在平面直角坐标系xoy中，点B与点A（0，2）关于原点O对称，P是动点，AP⊥BP．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与曲线C交于M、N两点，
ⅰ）若，求实数m取值；
ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵点B与点A（0，2）关于原点O对称，
∴B（0，-2）．如图，
∵AP⊥BP，
∴在直角三角形AOB中，OP=AB=4=2，
∴动点P的轨迹C是以O为圆心，2为半径的圆，
它的方程为x²+y²=4．
（II）
i）设直线l：y=x+m与曲线C交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点，
联立方程组，得2x²+2mx+m²-4=0，
则x₁+x₂=-m，x₁x₂=（m²-4），
且△=（2m）²-4×2（m²-4）≥0?≤m≤2．
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=（m²-4）+m（-m）+m²=（m²-4），
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=-1，
即m²-4=-1，∴m=±．
ii）若点A在以线段MN为直径的圆内，则∠MAN＞90°，
即，
即（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）＜0，
x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4＜0
从而有：（m²-4）+（m²-4）-2（-m+2m）+4＜0
∴0＜m＜2．
分析：（I）根据点B与点A（0，2）关于原点O对称，得出B（0，-2）．如图，由于AP⊥BP，得出动点P的轨迹C是以O为圆心，2为半径的圆，最后写出动点P的轨迹C的方程；
（II）i）设直线l：y=x+m与曲线C交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点，将直线的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．
ii）若点A在以线段MN为直径的圆内，则∠MAN＞90°，即，同i）理，即可求出实数m的取值范围．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．