Question

在平面直角坐标系xoy中，点B与A（-1，1）点关于原点O对称，P为动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-

1

2

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP、BP分别与直线x=3交于点M、N，问是否存在点P，使AN∥BM，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设出点P的坐标，求出直线方程，从而可得M，N的坐标，根据AN∥BM，直线AP与BP的斜率之积等于-

1

2

，即可求得结论．

解答：解：（I）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y），则
∵直线AP与BP的斜率之积等于-

1

2

，
∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

2

化简得x²+2y²=3（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x²+2y²=3（x≠±1）；
（Ⅱ）设点P（a，b），则直线AP：y=

b-1

a+1

x+

a+b

a+1

直线BP：y=

b+1

a-1

x+

a+b

-a+1

直线AP、BP分别与直线x=3交于点M、N，
所以，点M（3，

4b+a-3

a+1

），点N（3，

2b-a+3

a-1

）
因为AN∥BM，所以

2b+a-3

a+1

=

b-a+2

2a-2

，所以a=

5

3

因为直线AP与BP的斜率之积等于-

1

2

，
所以

b-1

a+1

•

b+1

a-1

=-

1

2

，所以b=-

1

3

或者b=

1

3

所以，存在点P （

5

3

，

1

3

）或者（

5

3

，-

1

3

）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．