Question

18．证明下列两个结论：
（1）当点（x₀，y₀）在圆x²+y²=r²上时，切线方程为x₀x+y₀y=r²．
（2）当点（x₀，y₀）在（x-a）²+（y-b）²=r²上时，切线方程为（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

Answer 1

分析 讨论切线的斜率存在和不存在，由直线的点斜式方程即可得到切线方程．

解答 证明：（1）当切线的斜率k存在时，设切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
又因为k=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
故切线方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），即有x₀x+y₀y=r²．
当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，符合x₀x+y₀y=r²，
综上，切线方程为x₀x+y₀y=r²；
（2）当切线的斜率k存在时，设切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
又因为k=-$\frac{{x}_{0}-a}{{y}_{0}-b}$．
故切线方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}-a}{{y}_{0}-b}$（x-x₀），即有（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．
当k不存在时，切线方程为x=r-a或x=a-r，符合（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²，
综上，切线方程为（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

点评 本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，涉及直线和圆相切的问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．