Question

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程；区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图③．图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．
（1）方程f（x）=0的解是

 

；
（2）下列说法中正确命题的序号是

 

．（填出所有正确命题的序号）
①f（

1

4

）=1；②f（x）是奇函数；③f（x）在定义域上单调递增；④f（x）的图象关于点（

1

2

，0）对称；⑤f（x）＞

3

的解集是（

2

3

，1）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：借助于图形观察，方程f（x）=0，即N（0，0），M在A的正下方，即可得到m；
先利用f（

1

4

）=-1，判断出①错；在有实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，知②错；
从图形上可得f（x）在定义域上单调递增，③对；先找到f（

1

2

）=0，再利用图形判断④对；
当f（x）=

3

时，即N（

3

，0），直线AN：x+

3

y=

3

，代入圆方程求得M的坐标，即可得到m，再由f（x）的单调性，即可判断⑤．

解答： 解：如图，因为M在以（0，1-

1

2π

）为圆心，

1

2π

为半径的圆上运动，
方程f（x）=0，即N（0，0），M在A的正下方，
即有AM的弧长为

1

2

，即m=

1

2

，解得x=

1

2

；
对于①，当m=

1

4

时．M的坐标为（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直线AM方程y=x+1，
所以点N的坐标为（-1，0），故f（

1

4

）=-1，
即①错；
对于②，因为实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，所以f（x）不存在奇偶性．故②错；
对于③，当实数m越来越大时，
如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，
即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，即③对；
对于④，当实数m=

1

2

时，对应的点在点A的正下方，
此时点N（0，0），所以f（

1

2

）=0，
再由图形可知f（x）的图象关于点（

1

2

，0）对称，即④对；
对于⑤，当f（x）=

3

时，即N（

3

，0），直线AN：x+

3

y=

3

，代入圆方程x²+（y-1+

1

2π

）²=

1

4π2

，
求得M（

3

4π

，1-

1

4π

），|AM|=

1

2π

，AM的弧长为1-

1

6

=

5

6

，由③可得解集是（

5

6

，1）．则⑤错误．
故答案为：

1

2

，③④．

点评：本题考查了在新定义的条件下解决函数问题，是一道很好的题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．