Question

9．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与抛物线y²=8x有一个公共的焦点F，两曲线的一个交点为M．若|MF|=5，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据抛物线和椭圆有相同的焦点求得p和c的关系，求出M的坐标，然后利用椭圆的定义求得a，即可求得离心率．

解答 解：∵抛物线y²=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，
∵抛物线的焦点和椭圆的焦点相同，
∴c=2，
∵设M（m，n），由抛物线定义知：
|PF|=m+$\frac{p}{2}$=m+2=5，∴m=3．
∴M点的坐标为（3，2$\sqrt{6}$）
∴2a=5+${\sqrt{（3+2）^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}}}^{\;}$=12，解得a=6，
椭圆的离心率为$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了椭圆，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．