Question

17．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{6}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，我们易求出数列的公比，再结合存在两项a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$，我们可以求出正整数m，n的和，再结合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．

解答 解：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵a₇=a₆+2a₅，则a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
若$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$，即a₁•${2}^{\frac{m+n-2}{2}}$=32a₁，
则m+n=12，
则12（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=5+（$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）
≥5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=9，
当且仅当n=2m=8时，$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$，
故选D．

点评 本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，其中根据已知中正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$，将问题转化为用基本不等式求最值是解答本题的关键．