Question

2．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角的性质求得∠COB=2∠CDB=60°，然后证明四边形ABDC为平行四边形，从而证得∠A=∠D=30°，根据三角形的内角和定理证得∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，从而证得AC是⊙O的切线；
（2）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积求解．

解答 （1）证明：连接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，∴△OEB≌△CED（AAS），∴S_阴影=S_扇形BOC．
∴S_阴影=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$=6π．
答：阴影部分的面积是6π．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质等，连接OC构建直角三角形是解题的关键．