Question

已知双曲线过点A（-2，3），且与椭圆

y2

9

+

x2

4

=1有相同的焦点，求双曲线的方程．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），代入点A（-2，3），得到a，b的值，可得到双曲线的方程．

解答： 解：∵椭圆

y2

9

+

x2

4

=1的焦点为（0，

5

）、（0，-

5

），
∴双曲线的焦点为（0，

5

）、（0，-

5

），c=

5

，
设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），则
∵双曲线过点A（-2，3），c=

5

，
∴

9 a2 - 4 b2 =1 a2+b2=5

，
∴a²=3，b²=2，
∴双曲线的方程为

y2

3

-

x2

2

=1．

点评：本题给出与已知椭圆共焦点的双曲线且经过一个已知定点，求双曲线的标准方程，着重考查了椭圆的基本概念和双曲线的简单几何性质，属于基础题．