Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

（O为坐标原点），求

OB

与

OC

的夹角；
（2）若

AC

⊥

BC

，求sinα-cosα的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）用坐标表示

OA

、

OC

，由|

OA

+

OC

|=

7

，求出α的值，从而得

OC

，再求得

OB

与

OC

的夹角；
（2）用坐标表示

AC

、

BC

，由

AC

⊥

BC

，得

AC

•

BC

=0，求出sinα+cosα的值，从而求得sinα-cosα的值．

解答： 解：（1）∵

OA

=（2，0），

OC

=（cosα，sinα），
∴

OA

+

OC

=（2，0）+（cosα，sinα）=（2+cosα，sinα），
∴|

OA

+

OC

|=

(2+cosα)2+(sinα)2

=

5+4cosα

=

7

，
解得cosα=

1

2

，
又∵0＜α＜π，
∴α=

π

3

，
∴sinα=

3

2

，
∴

OC

=（

1

2

，

3

2

），又

OB

=（0，2），
设

OB

与

OC

的夹角为θ，则0＜θ＜π；
∴cosθ=

OB • OC

| OB |×| OC |

=

0× 1 2 +2× 3 2

02+22 × ( 1 2 )2+( 3 2 )2

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．
（2）∵

AC

=（-2+cosα，sinα），

BC

=（cosα，-2+sinα），
且

AC

⊥

BC

，
∴

AC

•

BC

=0，
即（-2+cosα）cosα+（-2+sinα）sinα=0，
∴-2conα-2sinα+1=0，
∴sinα+cosα=

1

2

，
∴1+2sinαcosα=

1

4

，
∴2sinαcosα=-

3

4

，
又0＜α＜π，
∴cosα＜0，
∴sinα-cosα=

(sinα+cosπ)2-4sinαcosα

=

( 1 2 )2-2×(- 3 4 )

=

7

2

．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算以及三角函数的运算问题，是综合性题目．