Question

已知函数f（x）=2^x+

1

2

^|x|．
（1）解不等式：

2

2

≤f（x）≤

17

4

；
（2）若关于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）将函数表示为分段函数形式，然后根据分段函数即可解不等式：

2

2

≤f（x）≤

17

4

；
（2）利用换元法将方程转化为关于t的方程形式，然后利用基本不等式即可得到结论．

解答： 解：（1）当x≤0时，f（x）=2^x+

1

2

^|x|=2•2^x=2^x+1≤2，
当x＞0时，f（x）=2^x+（

1

2

）^x≥2

2x•( 1 2 )x

=2．
∴由不等式

2

2

≤f（x）≤

17

4

得：
当x≤0等价为

2

2

≤2^x+1，即2 -

1

2

≤2^x+1，
∴x+1≥-

1

2

，即-

3

2

≤x≤0，
当x＞0等价为2^x+（

1

2

）^x≤

17

4

，
设t=2^x，则t＞1，
∴t+

1

t

≤

17

4

，
即4t²-17t+4≤0，
解得

1

4

≤t≤4，此时1＜t≤4，
此时1＜2^x≤4，解得0＜x≤2．
综上不等式的解为-

3

2

≤x≤2，即不等式的解集为{x|-

3

2

≤x≤2}．
（2）∵当x＞0时，f（x）=2^x+（

1

2

）^x．
∴f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上等价为：
[22x+(

1

2

)2x]+a[2x+(

1

2

)x]+4=0，
即[2x+(

1

2

)x]2+a[2x+(

1

2

)x]+2=0，①
设t=2x+(

1

2

)x，则当x＞0时，t＞2，
此时方程①等价为t²+at+2=0，
即a=

-t2-2

t

=-(t+

2

t

)，
∵当t＞2时，g（t）=t+

2

t

单调递增，
∴g（t）＞g（2）=3，
∴-g（t）=-（t+

2

t

）＜-3，
∴要使a=

-t2-2

t

=-(t+

2

t

)有解，则a＜-3，
即实数a的取值范围是a＜-3．

点评：本题主要考查不等式的解法以及基本不等式的应用，将函数表示为分段函数形式，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．