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已知曲线f(x)=x2+2x在点(x1,f(x1))处的切线为l

(Ⅰ)求l的方程;

(Ⅱ)设g(x)=(x+a)f(x),若g(x)在[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)试判断l能否与曲线g(x)=ln(x+1)相切?并说明理由.

答案:
解析:

  (文科)

  (1)在点处的切线的斜率

  

  ∴的方程为,即;  3分

  (2)∵

  ∴

  ∵上是增函数,∴对任意

  于是,或,或 解得

  ∴时,函数上是增函数  12分

  (理科)

  (1)在点处的切线的斜率

  

  ∴的方程为,即;  3分

  (2)设曲线的切点

  其切线方程为,即

  欲使此切线与重合,需且只需

  即需要判断关于的方程是否有解,注意到令时,则问题转化为关于的方程是否有实数解

  由(1)式中的可知,故

  设,由,得的减区间是,增区间是,故的最小值为

  ∴无实数解,即无实数解

  所以不可能与曲线相切.  12分


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已知函数f(x)=2lnxg(x)=ax2+3x.
(1)设直线x=1与曲线yf(x)和yg(x)分别相交于点PQ,且曲线yf(x)和yg(x)在点PQ处的切线平行,若方程f(x2+1)+g(x)=3xk有四个不同的实根,求实数k的取值范围;
(2)设函数F(x)满足F(x)+xf′(x)-g′(x)]=-3x2-(a+6)x+1.其中f′(x),g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数;试问是否存在实数a,使得当x∈(0,1]时,F(x)取得最大值,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

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