Question

已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b．

(1)设f(x)在x＝s及x＝t处取到极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b．

(2)设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证：线段AB的中点C在曲线y＝f(x)上．

(3)若a＋b＜2，求证：过原点且与曲线y＝f(x)相切的两条直线不可能垂直．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab． 　　依题意知，s，t是二次方程f(x)＝0的两个实根． 　　因为(0)＝ab＞0，(a)＝a2－ab＝a(a－b)＜0，(b)＝b2－ab＝b(b－a)＞0， 　　所以(x)＝0在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个实根． 　　因为s＜t， 　　所以0＜s＜a＜t＜b． 　　(2)由s，t是(x)＝0的两个实根，知s＋t＝，st＝． 　　所以f(s)＋f(t)＝(s3＋t3)－(a＋b)(s2＋t2)＋ab(s＋t)＝－(a＋b)3＋ab(a＋b)． 　　因为f()＝f()＝－(a＋b)3＋ab(a＋b)＝(f(s)＋f(t))， 　　故AB的中点C(，f())在曲线y＝f(x)上． 　　(3)过曲线上点(x1，y1)的切线方程为y－y1＝[3－2(a＋b)x1＋ab](x－x1)． 　　因为y1＝x1(x1－a)·(x1－b)，又切线过原点，所以－x1(x1－a)(x1－b)＝－x1[3－2(a＋b)x1＋ab]．解得x1＝0，或x1＝．当x1＝0时，切线的斜率为ab；当x1＝时，切线的斜率为－(a＋b)2＋ab．因为a＞0，b＞0，a＋b＜2，所以两斜率之积[－(a＋b)2＋ab]·(ab)＝(ab)2－(a＋b)2·ab＞(ab)2－2ab＝(ab－1)2－1≥－1．故两切线不垂直．