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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.
【答案】分析:(1)取BC中点D,连接AD,B1D,得面ABC⊥面BCC1B1.再利用直线与平面垂直的判定定理得出AD⊥面BCC1B1于是Rt△CBC1与Rt△BB1D相似,最后得AB1⊥BC1
(2)取BC1的中点D,AC的中点E,连DE,则DE∥AB1,∠EDB即为A B1与B C1角,利用等边三角形EDB中,BD的长,从而得出侧棱的长.
解答:解:(1)取BC中点D,连接AD,B1D,
由正三棱锥ABC-A1B1C1,得面ABC⊥面BCC1B1
又D为三角形ABC的边BC的中点,故
AD⊥BC,于是AD⊥面BCC1B1
在矩形BCC1B1中,BC=,BB1=1,
于是Rt△CBC1与Rt△BB1D相似,
∠CBC1=∠BB1D,BC1⊥DB1
得AB1⊥BC1

(2)取BC1的中点D,AC的中点E,连DE,则DE∥AB1,∠EDB即为A B1与B C1成60角,
∴∠EDB=60°,在等边三角形EDB中,BD=BE=
∴BC1=2BD=,⇒BB1==2
∴侧棱长为2(14分)
点评:本小题主要考查棱柱的结构特征、直线与平面的位置关系、异面直线所成的角等基础知识,考查运算求解能力,考查空间想象力、化归与转化思想.属于基础题.
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